Materi Matematika SMP/MTS Kelas 7 Semester 1 - Kelipatan Dan Faktor Bilangan Bulat

a. Kelipatan Persekutuan

Daftarlah sepuluh kelipatan bilangan berikut secara urut dari yang terkecil hingga

terbesar. Kelipatan yang dimaksud adalah kelipatan bilangan bulat positif.

Daftar bilangan-bilangan yang sama antara kelipatan 1 dan 2 adalah 2, 4,

6, 8, dan 10

Bilangan 2, 4, 6, 8, dan 10 disebut sebagai kelipatan persekutuan dari 1 dan 2.

Sedangkan 2 disebut Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari 1 dan 2.

Contoh soal 1

Dengan mengamati pola pada Tabel 1.12, daftarlah lima bilangan kelipatan dari

bilangan-bilangan berikut serta tentukan KPKnya.

a. 1 dan 3

b. 2 dan 5

c. 3 dan 6

d. 4 dan 7

e. 3, 4, dan 7

penyelesaian

a. Kelipatan bilangan 1 dan 3 adalah 3, 6, 9, 12, 15

b. Kelipatan bilangan 2 dan 5 adalah 10, 20, ..., ..., ...

c. Kelipatan bilangan 3 dan 6 adalah 6, 12, ..., ..., ...

d. Kelipatan bilangan 4 dan 7 adalah 28, ..., ..., ..., ...

e. Kelipatan bilangan 3, 4, dan 7 adalah ..., ..., ..., ..., ...

Dari daftar lima bilangan kelipatan di atas, bisa kita amati sebagai berikut.

KPK dari 1 dan 3 adalah 3

KPK dari 2 dan 5 adalah 10

KPK dari 3 dan 6 adalah 6

KPK dari 4 dan 7 adalah 28

Contoh soal 2

Tentukan KPK dari bilangan-bilangan berikut.

a. 6 dan 15

b. 3, 6, 8

penyelesaian

a. Daftar kelipatan dari 6 dan 15

Kelipatan 6 adalah 6, 12, 18, 24, 30

Kelipatan 15 adalah 15, 30

Dari daftar tersebut KPK dari 6 dan 15 adalah 30

b. Daftar kelipatan dari 3, 6, dan 8

Kelipatan 3 adalah 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24

Kelipatan 6 adalah 6, 12, 18, 24

Kelipatan 8 adalah 8, 16, 24

Dari daftar tersebut KPK dari 3, 6, dan 8 adalah 24

Untuk bilangan yang KPK-nya cukup besar kalian bisa menggunakan cara:

1. Faktorisasi prima

2. Pembagian bersusun

b. Menentukan KPK dengan Faktorisasi Prima

Untuk menentukan KPK dengan cara faktorisasi prima, kalian harus bisa menyatakan

suatu bilangan bulat positif dalam bentuk perkalian bilangan-bilangan prima.

Contoh 1

Tentukan KPK dari 90 dan 168

Penyelesaian

Langkah 1: menyatakan bilangan 90 dan 168 ke dalam bentuk faktorisasi prima.

Untuk menentukannya bisa menggunakan bantuan pohon faktor, sebagai berikut.

Dari pohon faktor tersebut dapat dituliskan sebagai berikut.

90 = 2 × 32 × 5

168 = 23 × 3 × 7

Langkah 2 : Mengalikan semua faktor-faktor pada masing-masing bilangan dengan

ketentuan: Jika terdapat faktor prima yang sama pada kedua bilangan, maka dipilih

yang pangkat tertinggi.

KPK dari 90 dan 168 adalah 23 × 32 × 5 × 7 = 2.520

Menentukan KPK dengan Pembagian Bersusun

Contoh soal

Tentukan KPK dari 9, 15, dan 42

Penyelesaian

Langkah 1: Bagi ketiga bilangan tersebut secara berususun hingga hasil bagi semua

bilangan adalah 1, seperti berikut.

Keterangan:

Tanda panah merah berarti bilangan tersebut tidak terbagi habis oleh pembaginya.

Langkah 2: Kalikan semua pembagi

KPK dari 9, 15, dan 42 adalah 3 × 2 × 7 × 5 × 3 = 630

Tugas kalian

1. Tentukan KPK dari 54, 90, dan 168 dengan cara faktorisasi prima.

2. Tentukan KPK dari 90 dan 168 dengan cara pembagian bersusun.

Contoh soal

1. Diketahui tiga bola lampu, A, B, dan C. Lampu A

menyala setiap 2 menit sekali. Lampu B menyala setiap

3 menit sekali. Lampu C menyala setiap 5 menit sekali.

Suatu ketika seorang pengamat mengamati lampu A

menyala pada menit ke-1. Lampu B menyala 2 menit

setelah lampu A menyala. Sedangkan lampu C menyala

3 menit setelah lampu A menyala. Tentukan:

a. Pada menit ke berapa ketiga lampu tersebut

menyala bersama untuk pertama kali (sejak lampu A menyala)

b. Pada menit ke berapa ketiga lampu tersebut menyala

bersama untuk kedua kali (sejak lampu A menyala)

c. Pola ketiga lampu menyala bersama

penyelesaian

a. Untuk mengetahui waktu ketika ketiga lampu menyala bersama-sama kita bisa

mendaftar menit-menit lampu tersebut menyala, dengan kata lain, kita mendaftar

kelipatan dari menit menyalanya lampu

Jadi ketiga lampu tersebut menyala bersama untuk pertama kali adalah pada

menit ke-9 atau 8 menit setelah lampu A menyala.

b. Untuk menentukan ketiga lampu menyala ketiga kali, kita bisa meneruskan

mendaftar pola kelipatan. Namun cara tersebut kiranya cukup lama, kita bisa

menghitung KPK dari 2, 3, dan 5 untuk menentukan waktu ketiga lampu menyala

pertama kali.

KPK dari 2, 3, dan 5 adalah 2 × 3 × 5 = 30

Jadi ketiga lampu tersebut menyala untuk kedua kali pada menit ke-39 atau 30

menit sejak ketiga lampu menyala pertama kali

c. Berikut pola waktu di mana ketiga lampu tersebut menyala bersama-sama

9, 39, 69, 99, ....

Atau ditulis dengan notasi

9 + k × 30, dengan k = bilangan bulat positi

c. Faktor Persekutuan

a dikatakan faktor dari bilangan bulat b jika a membagi habis b. Dengan kata lain

dapat ditulis b = a × n, dengan n adalah suatu bilangan bulat.

Daftarlah faktor-faktor positif dari bilangan berikut!

Faktor positif dari 6 adalah 1, 2, 3, 6

Faktor positif dari 8 adalah 1, 2, 4, 8

Faktor positif dari 9 adalah 1, 3, 9

Faktor positif dari 13 adalah 1 dan 13

Faktor positif dari 15 adalah 1, 3, 5, dan 15

Faktor positif dari 24 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, dan 24

d. Menentukan FPB dengan Faktorisasi Prima

contoh soal

Tentukan FPB dari 90 dan 168

penyelesaian

Langkah 1: menyatakan bilangan 90 dan 168 ke dalam bentuk faktorisasi prima

Untuk menentukannya bisa menggunakan bantuan pohon faktor, sebagai berikut.

Langkah 2: Mengalikan semua faktor-faktor yang sama pada masing-masing bilangan

dengan ketentuan : pilih yang pangkat terendah.

FPB dari 90 dan 168 adalah 2 × 3 = 6

e. Menentukan FPB dengan Pembagian Bersusun

contoh

Tentukan KPK dari 24, 48, 72

Langkah 1: Bagi ketiga bilangan tersebut secara berususun hingg hasil bagi semua

bilangan adalah 1, seperti berikut.

Langkah 2: Kalikan pembagi yang habis membagi semua bilangan.

FPB dari 24, 48, dan 72 adalah 2 × 2 × 3 = 12

jika ada pertanyaan, tanyakan di kolom komentar adik adik..

Baca Juga