Materi Matematika SMP/MTS Kelas 7 Semester 1 - Kelipatan Dan Faktor Bilangan Bulat
a. Kelipatan Persekutuan
Daftarlah
sepuluh kelipatan bilangan berikut secara urut dari yang terkecil hingga
terbesar. Kelipatan yang
dimaksud adalah kelipatan bilangan bulat positif.
Daftar bilangan-bilangan yang sama antara kelipatan 1 dan 2 adalah 2, 4,
6, 8, dan
10
Bilangan 2,
4, 6, 8, dan 10 disebut sebagai kelipatan persekutuan dari 1 dan 2.
Sedangkan 2 disebut Kelipatan
Persekutuan Terkecil (KPK) dari 1 dan 2.
Contoh soal 1
Dengan
mengamati pola pada Tabel 1.12, daftarlah lima bilangan kelipatan dari
bilangan-bilangan
berikut serta tentukan KPKnya.
a. 1 dan 3
b. 2 dan 5
c. 3 dan 6
d. 4 dan 7
e. 3, 4, dan 7
penyelesaian
a.
Kelipatan bilangan 1 dan 3 adalah 3, 6, 9, 12, 15
b.
Kelipatan bilangan 2 dan 5 adalah 10, 20, ..., ..., ...
c.
Kelipatan bilangan 3 dan 6 adalah 6, 12, ..., ..., ...
d.
Kelipatan bilangan 4 dan 7 adalah 28, ..., ..., ..., ...
e.
Kelipatan bilangan 3, 4, dan 7 adalah ..., ..., ..., ..., ...
Dari daftar
lima bilangan kelipatan di atas, bisa kita amati sebagai berikut.
KPK dari 1
dan 3 adalah 3
KPK dari 2
dan 5 adalah 10
KPK dari 3
dan 6 adalah 6
KPK dari 4 dan 7 adalah 28
Contoh soal 2
Tentukan
KPK dari bilangan-bilangan berikut.
a. 6 dan 15
b. 3, 6, 8
penyelesaian
a. Daftar
kelipatan dari 6 dan 15
Kelipatan 6
adalah 6, 12, 18, 24, 30
Kelipatan
15 adalah 15, 30
Dari daftar
tersebut KPK dari 6 dan 15 adalah 30
b. Daftar
kelipatan dari 3, 6, dan 8
Kelipatan 3
adalah 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24
Kelipatan 6
adalah 6, 12, 18, 24
Kelipatan 8
adalah 8, 16, 24
Dari daftar
tersebut KPK dari 3, 6, dan 8 adalah 24
Untuk
bilangan yang KPK-nya cukup besar kalian bisa menggunakan cara:
1.
Faktorisasi prima
2.
Pembagian bersusun
b. Menentukan KPK dengan Faktorisasi Prima
Untuk
menentukan KPK dengan cara faktorisasi prima, kalian harus bisa menyatakan
suatu
bilangan bulat positif dalam bentuk perkalian bilangan-bilangan prima.
Contoh
1
Tentukan
KPK dari 90 dan 168
Penyelesaian
Langkah 1:
menyatakan bilangan 90 dan 168 ke dalam bentuk faktorisasi prima.
Untuk
menentukannya bisa menggunakan bantuan pohon faktor, sebagai berikut.
Dari pohon
faktor tersebut dapat dituliskan sebagai berikut.
90 = 2 × 32 × 5
168 = 23 × 3 × 7
Langkah 2 :
Mengalikan semua faktor-faktor pada masing-masing bilangan dengan
ketentuan:
Jika terdapat faktor prima yang sama pada kedua bilangan, maka dipilih
yang
pangkat tertinggi.
KPK dari 90
dan 168 adalah 23 × 32
× 5 × 7 = 2.520
Menentukan KPK dengan Pembagian Bersusun
Contoh soal
Tentukan
KPK dari 9, 15, dan 42
Penyelesaian
Langkah 1:
Bagi ketiga bilangan tersebut secara berususun hingga hasil bagi semua
bilangan
adalah 1, seperti berikut.
Keterangan:
Tanda
panah merah berarti bilangan tersebut tidak terbagi habis oleh pembaginya.
Langkah 2:
Kalikan semua pembagi
KPK dari 9,
15, dan 42 adalah 3 × 2 × 7 × 5 × 3 = 630
Tugas
kalian
1. Tentukan
KPK dari 54, 90, dan 168 dengan cara faktorisasi prima.
2. Tentukan
KPK dari 90 dan 168 dengan cara pembagian bersusun.
Contoh soal
1.
Diketahui tiga bola lampu, A, B, dan C. Lampu A
menyala
setiap 2 menit sekali. Lampu B menyala setiap
3 menit
sekali. Lampu C menyala setiap 5 menit sekali.
Suatu
ketika seorang pengamat mengamati lampu A
menyala
pada menit ke-1. Lampu B menyala 2 menit
setelah
lampu A menyala. Sedangkan lampu C menyala
3 menit
setelah lampu A menyala. Tentukan:
a. Pada
menit ke berapa ketiga lampu tersebut
menyala
bersama untuk pertama kali (sejak lampu A menyala)
b. Pada
menit ke berapa ketiga lampu tersebut menyala
bersama
untuk kedua kali (sejak lampu A menyala)
c. Pola
ketiga lampu menyala bersama
penyelesaian
a. Untuk
mengetahui waktu ketika ketiga lampu menyala bersama-sama kita bisa
mendaftar
menit-menit lampu tersebut menyala, dengan kata lain, kita mendaftar
kelipatan
dari menit menyalanya lampu
Jadi ketiga
lampu tersebut menyala bersama untuk pertama kali adalah pada
menit ke-9
atau 8 menit setelah lampu A menyala.
b. Untuk
menentukan ketiga lampu menyala ketiga kali, kita bisa meneruskan
mendaftar
pola kelipatan. Namun cara tersebut kiranya cukup lama, kita bisa
menghitung
KPK dari 2, 3, dan 5 untuk menentukan waktu ketiga lampu menyala
pertama
kali.
KPK dari 2,
3, dan 5 adalah 2 × 3
× 5 = 30
Jadi ketiga
lampu tersebut menyala untuk kedua kali pada menit ke-39 atau 30
menit sejak
ketiga lampu menyala pertama kali
c. Berikut
pola waktu di mana ketiga lampu tersebut menyala bersama-sama
9, 39, 69,
99, ....
Atau
ditulis dengan notasi
9 + k ×
30, dengan k =
bilangan bulat positi
c. Faktor Persekutuan
a dikatakan
faktor dari bilangan bulat b jika a membagi habis b. Dengan kata lain
dapat
ditulis b = a × n, dengan n adalah suatu bilangan bulat.
Daftarlah
faktor-faktor positif dari bilangan berikut!
Faktor
positif dari 6 adalah 1, 2, 3, 6
Faktor
positif dari 8 adalah 1, 2, 4, 8
Faktor
positif dari 9 adalah 1, 3, 9
Faktor
positif dari 13 adalah 1 dan 13
Faktor
positif dari 15 adalah 1, 3, 5, dan 15
Faktor positif dari 24
adalah 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, dan 24
d. Menentukan FPB
dengan Faktorisasi Prima
contoh
soal
Tentukan FPB dari 90 dan 168
penyelesaian
Langkah 1:
menyatakan bilangan 90 dan 168 ke dalam bentuk faktorisasi prima
Untuk menentukannya bisa menggunakan
bantuan pohon faktor, sebagai berikut.
Langkah
2: Mengalikan semua faktor-faktor yang sama pada masing-masing bilangan
dengan
ketentuan : pilih yang pangkat terendah.
FPB
dari 90 dan 168 adalah 2 × 3 = 6
e. Menentukan FPB
dengan Pembagian Bersusun
contoh
Tentukan
KPK dari 24, 48, 72
Langkah 1:
Bagi ketiga bilangan tersebut secara berususun hingg hasil bagi semua
bilangan adalah 1, seperti berikut.
Langkah 2:
Kalikan pembagi yang habis membagi semua bilangan.
FPB dari 24, 48, dan 72 adalah 2 × 2 ×
3 = 12
jika ada pertanyaan, tanyakan di kolom komentar adik adik..